Cómo nace un teorema: Una aventura matemática

Por Cédric Villani

¿Cómo trabaja un matemático? ¿Cuáles son sus modos de invención? ¿Qué vida late tras las fórmulas y demostraciones matemáticas? En 2010, y con 37 años, Cédric Villani gana la Medalla Fields, considerada como el Premio Nobel de las matemáticas, por sus contribuciones a la física estadística y, en particular, por su formulación del teorema sobre el amortiguamiento de Landau. Este libro es un trepidante y apasionado relato en el que Villani, con su mezcla de carisma y excentricidad, de precisión y entusiasmo, da cuenta de su hazaña, desde la idea germinal hasta su resolución final como publicación. A lo largo de dos años de trabajo febril, fruto también de la colaboración de su ayudante Clément Mouhot, asistimos al desarrollo de su investigación –hecha de tanteos, dudas, rectificaciones y logros– de Lyon a Hyderabad, pasando por Kioto, París o Princeton. Un relato en forma de diario, en el que se intercalan correos electrónicos y los retratos de algunos de los grandes nombres de la matemática y la ciencia –Boltzmann, Newton, Euler, Gauss, Fourier, Kolmogórov, Nash…–, donde el lenguaje matemático más sofisticado convive con canciones, mangas y duermevelas… Cómo nace un teorema es así el testimonio apasionado y riguroso del pensamiento vivo que anima la creación matemática.
Cédric Villani (1973), matemático y político francés, ha conjugado la alta investigación con la divulgación matemática. La investigación que relata este libro le mereció la Medalla Fields en 2010.

• Idioma: Español
• Editorial: Los Libros de la Catarata
• Fecha de lanzamiento: 14 sept 2021
• ISBN: 9788413523071

Cédric Villani

Matemático y político francés (1973- Brive-la-Gaillarde, Corrèze, Francia). Docente e investigador de matemáticas desde 2000, ha trabajado en distintas universidades e institutos de investigación en París, Lyon, Atlanta, Berkeley y Princeton. Villani es especialista en análisis matemático, ha trabajado en problemas de física estadística como la ecuación de Boltzmann o el amortiguamiento de Landau, la optimización (problema de transporte óptimo de Monge) y la geometría de Riemann (teoría sintética de la curvatura de Ricci). Entre 2009 y 2017 fue director del Instituto Henri Poincaré. Recibió la Medalla Fields en 2010. Previamente ganó los premios Henri Poincaré (2009), Fermat (2009), de la Sociedad Matemática Europea (2008) y Jacques Herbrand de la Academia Francesa de Ciencias (2007). Como escritor y conferenciante, ha consagrado una parte de su carrera a la divulgación matemática. En su faceta política, fue elegido diputado de La République en marche (LaREM) por Essonne en 2017, acompañando a Emmanuel Macron. En 2020, opta a la alcaldía de París y finalmente es elegido concejal del distrito 14. Tras abandonar LaREM entra a formar parte del desaparecido grupo Écologie démocratie solidarité (EDS) y desde enero de 2021 de Generation écologie.

Vista previa del libro

Prólogo

El título de este libro, Cómo se hace un teorema —en su versión española—, nos da una primera indicación de lo que vamos a encontrar en sus páginas, porque de eso es en gran medida de lo que trata: de cuáles son los pasos que sigue un matemático para probar un resultado relevante, al que luego le podremos llamar teorema o incluso puede ocurrir que la comunidad le dé nuestro nombre para la posteridad.

Escribe Cédric Villani al comienzo de este libro: A menudo me preguntan cómo es la vida de un matemático, en qué empleamos nuestro tiempo, cómo se lleva a cabo nuestro trabajo. Esas son preguntas que no solo se las hacen a él; son preguntas que constantemente nos hacen a los que nos dedicamos a esta disciplina. Así que esta es la cuestión: ¿cómo trabaja un matemático? ¿Usa algún método para concentrarse en la resolución del problema al que está dando vueltas en su cabeza? ¿Cómo se aísla de la vida cotidiana?

Cédric Villani confiesa que, como muchos matemáticos, usa la música para trabajar (y de paso nos enteramos de sus gustos musicales, bastante eclécticos y que incluyen el Por­­que te vas de Jeanette, que los españoles asociamos inmediatamente a la obra de Saura, Cría cuervos, en esa inolvidable secuencia con Ana Torrent). Por mi parte, confieso que si dejo que la música me acompañe, atraerá mi atención y me alejará del problema matemático. Esto le ocurre a Villani cuando la música le llega plenamente al corazón.

Pero un matemático también necesita un espacio para sus reflexiones. Asistimos en este libro a un continuo cambio de geografías, y solo es en el periodo de sus seis meses en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS) de Princeton cuando puede dedicarse con más ahínco al teorema. La brevedad de los capítulos, la inclusión de sus correos electrónicos con su colaborador Clément Mouhot, la angustia ante la duda de si han elegido el camino correcto, si deben dejarlo y abandonar… es como un thriller policiaco trepidante hasta que llega la epifanía, la confirmación.

Porque uno de los temores del matemático es la veracidad de su resultado, que debe ser contrastado por el resto de la comunidad. Villani y Mouhot no están seguros de que sus argumentos sean los correctos. Así y todo, Villani va contando su resultado en varios seminarios en Estados Unidos, siempre con la desazón de presentarlos de manera incompleta y ante audiencias de matemáticos de excelencia, capaces de detectar hasta el más mínimo despiste o error.

Cuando creen tener el resultado amarrado, envían el artículo, muy extenso, a una de las más grandes y prestigiosas revistas de la disciplina, Acta Mathematica, donde Henri Poincaré publicó sus hallazgos, tras el episodio del artículo equivocado donde demostraba la estabilidad del Sistema Solar y con el que había ganado el premio convocado por el rey Óscar II de Suecia. Algo que da cuenta de otra de las tareas del matemático; una vez finalizado su trabajo y tras dar por buena la enésima versión, se envía a una revista para su publicación, ya que los resultados no se guardan en un cajón. Como decía Adolf Hurwitz: Las grandes ideas de nuestra ciencia a menudo nacen y maduran en soledad; ninguna otra rama de la ciencia, con excepción quizás de la filosofía, poseen tal carácter introvertido como las matemáticas. Y aun así, un matemático siente la necesidad de comunicarse, de participar en discusiones con los colegas. Pero los revisores de la revista rechazan el artículo, al menos en esta primera versión. Recordemos que este es el artículo por el que Villani consigue la Medalla Fields, pero necesitaban aportar nuevos argumentos. Finalmente, tras los cambios requeridos por Acta Mathematica, el artículo es aceptado, conduciendo al auténtico final de esta aventura matemática, subtítulo de esta obra.

Uno de los aspectos que resalta Villani es el papel que juega el inconsciente en la investigación matemática; tal y como declara en algunas entrevistas, quería que este tema estuviera presente en el libro. A veces, es necesario incubar un tema durante un tiempo hasta que surge la idea. En El yo creativo, Oliver Sacks narra el caso de Henri Poincaré, recogido también por Jacques Hadamard en Psicología de la invención en el campo matemático. Cuenta Poincaré en su autobiografía que, estando trabajando en un problema matemático al que no le encontraba una solución, decidió emprender una excursión geológica patrocinada por la Escuela de Minas para aliviar su frustración y despejar su cabeza. Y en una de las excursiones de esos días, subió al autobús y el problema estaba, como una revelación, resuelto en su mente. Villani relata varios de esos casos, de cómo tras darle vueltas y vueltas a un problema, al día siguiente aparece claro en su cabeza. Bueno, Ramanujan creía que la diosa Namagiri ponía en su mente sus extraordinarios resultados matemáticos, pero pensamos que, además del genio, el trabajo constante es también imprescindible.

Villani también compara el trabajo del matemático con el de los poetas: Se necesita tanto la inspiración como el rigor... y los matemáticos y los poetas son personas que creen en el poder de las palabras, de los conceptos y de dar nombre a los conceptos.

Cédric Villani consiguió su Medalla Fields en 2010 en el Congreso Internacional de Matemáticas de Hyderabad (India) por el teorema sobre el amortiguamiento de Landau. El 16 de febrero de 2010 recibe una llamada desde Budapest de László Lovász, presidente de la Unión Matemática Internacional (IMU, por sus siglas en inglés). Y le comunica la esperada noticia. Aunque Villani se muestra modesto, su resultado era muy relevante y había recibido mucha atención de la comunidad matemática; además, lo había presentado ante los mejores especialistas del mundo, así que sus probabilidades de conseguir la preciada medalla eran altas. Sin olvidar los numerosos premios que ya había recibido y, sobre todo, el más importante, el premio de la Sociedad Matemática Europea en 2008, galardones que muchas veces son la antesala de la Medalla Fields. La llamada de Lovász en febrero de 2010 supone su consagración, pero debe esperar hasta agosto antes de poder hacerlo público. Esta es otra de las peculiaridades y la magia del mayor premio de las matemáticas: hasta la ceremonia de inauguración del congreso no se desvelan los galardonados de ese año. Así, debe guardar silencio (solo su esposa Claire lo sabe) durante varios y largos meses. Siempre me he preguntado cómo se puede sobrellevar ese silencio sin que la alegría desborde por todos los poros de la piel. Para que se entienda ese secretismo que rodea a la Medalla Fields, he de decir que yo era entonces miembro del Comité Ejecutivo de la IMU y solo supe los nombres de los premiados cuando los vi sentados con noso­­tros en las primeras filas del Palacio de Congresos de Hyderabad.

Pero todavía no hemos hablado del Cédric Villani hombre. No es una persona que pase desapercibida, gracias a sus trajes oscuros propios de un actor de teatro del siglo XIX, sus chalinas de varios colores y su colección de broches de araña. No sabemos exactamente cuáles fueron los motivos por los que Villani eligió esta manera de vestir, pero la estrategia para hacerse notar funcionó al cien por cien, y Villani se convirtió en una estrella del rock para los jóvenes matemáticos. Pero que nadie se engañe; Villani es una persona extremadamente educada y amable, que habla siempre con la razón por delante y que muestra una enorme sensibilidad y compromiso. Y como muestra (una más) de este compromiso, no todos saben que Villani preside la asociación Musaïques, cuyo objetivo es proporcionar a todo el mundo los medios para improvisar, utilizando instrumentos musicales innovadores. Y que esta actividad se dirige en especial a las personas con autismo o con discapacidades múltiples.

Otra de las cuestiones que Cédric Villani muestra en su relato es la relación familiar: su matrimonio con la bióloga Claire Calmet y sus dos hijos pequeños (Neven y Aëlle). ¿Cómo conciliar este trabajo a tiempo completo con el cuidado de tus hijos y la vida familiar en general? Villani se muestra como un hombre familiar, preocupado siempre por el bienestar de sus hijos y por cómo tantos cambios puedan afectarlos. También ofrece algunos atisbos de cómo se puede sacar tiempo para la dedicación matemática. Y que nadie se asuste si al entrar en un despacho de un matemático lo ve echando una siestecita en la moqueta.

Hay otro aspecto muy interesante en el libro, y es la manera en que Villani, en su recorrido geográfico, nos va mostrando los más grandes centros matemáticos del mundo. Desde el IAS al Instituto de Investigación Matemática Oberwolfach, hasta el propio Instituto Henri Poincaré, la joya de la corona de la matemática francesa, su casa de las matemáticas, donde Cédric acabará como director tras su paso por la Universidad de Lyon. Y ser director exige muchas habilidades que muchos matemáticos no poseen, como la capacidad de gestionar recursos económicos y personal. Muchos le aconsejan que no asuma ese cargo y que siga haciendo matemáticas. Pero él sabe que hay que devolver a la comunidad parte de lo que la comunidad le ha dado.

Y este es un punto de inflexión, porque Villani no se queda aquí. Un europeísta convencido como él entiende que debe dar un paso más. Y decide entrar en política, aprovechando su tirón mediático. Fue elegido diputado en la quinta circunscripción de Essonne en las elecciones legislativas de 2017, bajo las siglas de La République en marche (LaREM), acompañando a Emmanuel Macron. En 2020, aunque su partido presenta otro candidato, opta a la alcaldía de París, y pese a no ganar, es elegido concejal del distrito 14. Abandona LaREM y se afilia al nuevo grupo Ecología, Democracia y Solidaridad (EDS). Su figura pasa a ser habitual en los platós televisivos y en los mítines políticos, defendiendo posiciones ecologistas y humanitarias. Villani muestra una vez más su compromiso con la sociedad: Cerrar las fronteras y tener miedo y desconfianza de los inmigrantes es una tragedia para Europa. Nos dirigimos a una catástrofe política a un nivel muy grande, ha dicho en una entrevista reciente.

El libro tiene un aliciente más, y son los maravillosos retratos que hace de los muchos personajes científicos y matemáticos que desfilan por sus páginas. Y entre ellos, el del gran protagonista de la historia, nacido en 1872, Ludwig Boltzmann, quien propuso una ecuación en derivadas parciales para describir el comportamiento macroscópico de gases y líquidos. A partir de este modelo, Boltzmann dedujo que la entropía del sistema, generalmente considerada como una medida de su desorden, siempre aumenta cuando el tiempo evoluciona. Timothy Gowers dice en su blog, con motivo de la concesión de la Medalla Fields a Villani, que no se trata de que haya resuelto el misterio de la entropía, pero sí que coincide con el matemático Horng-Tzer Yau en que su teorema ha creado una conexión rigurosa entre la entropía y la producción de entropía; estableció la entropía como herramienta fundamental en el transporte óptimo, y la curvatura en los espacios métricos; y demostró de forma rigurosa un fenómeno conocido como amortiguación de Landau.

Estamos ante un libro singular que mostrará a los lectores que estén dispuestos a sumergirse en su lectura las tripas de un teorema, que no se reduce a un artículo de investigación bellamente impreso, sino que detrás se encuentra la vida de sus autores.

Manuel de León

Mayo de 2021

PRESENTACIÓN

A menudo me preguntan cómo es la vida de un matemático, en qué empleamos nuestro tiempo, cómo se lleva a cabo nuestro trabajo. Intentaré responder a estas preguntas a lo largo de este libro.

El relato sigue la génesis de un avance matemático, desde el momento en que uno decide embarcarse en la aventura, hasta aquel en el que el artículo que anuncia el nuevo resultado —el nuevo teorema— se acepta para su publicación en una revista internacional.

Entre estos dos instantes, la búsqueda de los investigadores, lejos de seguir una trayectoria rectilínea, traza un largo y sinuoso camino, como ocurre a menudo en la vida.

Aparte de algunos ajustes insignificantes debidos a los requisitos de la presentación, todo lo que relata se adecua a la realidad, o al menos tal como yo la he vivido.

Agradezco a Olivier Nora por haber inspirado este proyecto con ocasión de un encuentro fortuito; a Claire por sus atentas relecturas y sugerencias; a Ariane Fasquelle y al equipo de Grasset por haber comprendido tan bien mi propósito de escribir este libro y la calidad de su trabajo editorial; por último, gracias a Clément por la inolvidable colaboración, sin la cual este libro no hubiera sido posible.

Los lectores pueden compartir conmigo sus preguntas o comentarios por correo electrónico.

Cédric Villani

París, diciembre de 2011

Capítulo 1

Lyon, 23 de marzo de 2008

Un domingo a la una de la tarde; el laboratorio estaría desierto si no fuera por dos matemáticos atareados. Un lugar tranquilo para trabajar, en el despacho que ocupo desde hace ocho años en la tercera planta de la École Normale Supérieure de Lyon.

Sentado en un cómodo sillón, doy golpecitos enérgicos sobre el amplio escritorio con los dedos extendidos como las patas de una araña, tal y como una vez me enseñó mi profesor de piano.

A mi izquierda, sobre una mesa separada, una estación de trabajo informático. A mi derecha, un armario con cientos de li­­bros de matemáticas y de física. Detrás de mí, cuidadosamente colocados en largas estanterías, miles y miles de páginas de artículos, fotocopiados en la época ancestral en que las revistas científicas aún no eran electrónicas; y reproducciones de numerosos trabajos de investigación, fotocopiados en una época en que mi salario no me permitía calmar mi sed de libros. También hay una pila de un metro de papeles en sucio, archivados meticulosamente durante muchos años; al igual que notas manuscritas, testigos de las incontables horas dedicadas a escuchar las presentaciones de los trabajos de investigación. En el escritorio, frente a mí, Gaspard, mi portátil, llamado así en honor a Gaspard Monge, el gran matemático revolucionario; y un montón de hojas repletas de símbolos matemáticos, garabateadas en distintos rincones del mundo y reunidas para esta ocasión.

Mi compañero, Clément Mouhot, con una mirada chispeante y un rotulador en la mano, se encuentra enfrente de mí junto a la gran pizarra blanca que ocupa toda la pared.

—Entonces, cuenta, ¿por qué me has hecho venir?, ¿cuál es tu proyecto? No me has dado demasiados detalles en tu correo electrónico…

—Vuelvo a mi viejo demonio, obviamente es muy ambicioso, se trata de la regularidad de Boltzmann inhomogénea.

—¿Regularidad condicional? ¿Quieres decir, módulo de los límites de regularidad mínimos?

—No, incondicional.

—¡Vaya! ¿No será en términos perturbativos? ¿Crees que estamos preparados?

—Sí, he vuelto a ponerme con ello, he avanzado bastante el trabajo, tengo algunas ideas, pero aquí me he atascado. He desglosado la dificultad con varios modelos reducidos, pero incluso el más sencillo se me escapa. Creía haberlo conseguido con un argumento de principio de máximo, y no, todo se ha derrumbado. Necesito hablar de ello.

—Venga, te