Robótica: enfoque computacional: Transformaciones espaciales, planificación de trayectorias, cinemática, dinámica y control de robots
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""Robótica: enfoque computacional"" es una herramienta indispensable tanto para aquellos que desean comprender la robótica, mediante estudios formales de pregrado y posgrado, desde la teoría hasta la práctica, hasta dominar su aplicación profesional en una amplia variedad de contextos."
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Robótica - Andrés Jaramillo-Botero
Prefacio
Este libro surge de un proceso académico iniciado a principios de 1990 en la Pontificia Universidad Javeriana-Cali, cuando la enseñanza de la robótica partía del ejercicio teórico y se contextualizaba mediante el uso de modelos por computador [1] o diseños experimentales sencillos, para favorecer la abstracción de la teoría.
Quizás más importante que la base de códigos, sus derivaciones, o el impacto amplificado por el advenimiento de plataformas de cómputo cada vez más potentes y costo-eficientes, es el surgimiento de una nueva generación de ingenieros-investigadores-profesores, quienes aportan a la solución de problemas universales en medicina, agricultura, industria, medio ambiente, exploración espacial, entre muchos otros campos, desde la robótica.
Este libro conjuga dos generaciones de apasionados por la robótica, con el propósito de animar a las generaciones futuras, y se consolida mediante la convergencia de los autores dentro del ecosistema de investigación Ómicas y la aplicación de la robótica en el fenotipado automático de cultivos agrícolas empleando vehículos autónomos.
Agradecimientos Andrés Jaramillo-Botero: a mis co-autores, estudiantes del pasado y ahora colegas, Julián David y Juan Camilo, pues sin ellos este libro no tendría el contenido o la trascendencia esperada, representada en el cierre de un ciclo infinito. A la Pontificia Universidad Javeriana y al Instituto Tecnológico de California (Caltech), mis casas de pensamiento y aprendizaje.
Dedicación Andrés Jaramillo-Botero: a mi esposa María Claudia y mis hijos Tomás y Lucas, fuentes eternas de motivación e inspiración. A mi padre Jorge y mi madre Clara Inés, por su ejemplo de vida personal y profesional. A mis hermanos, sobrinas y sobrinos, suegros, cuñada y cuñado, y a mis estudiantes, pasados y futuros.
Agradecimientos Juan Camilo Acosta: a Andrés Jaramillo-Botero, por haberme sembrado el gusto por la ciencia y la robótica, por hacerme soñar con un mundo mejor a través de la ingeniería. A Julián, por su amistad y compañerismo durante el pregrado hasta nuestra relación de hoy como colegas, en la Facultad de Ingeniería de la PUJ. A la Pontificia Universidad Javeriana, mi alma mater.
Dedicación Juan Camilo Acosta: a mi esposa María Juliana y mis hijos Pedro y Susana, fuente diaria de amor y motivación. A mi padre Carlos Alberto y mi madre Olga Beatriz, por ser mi mayor ejemplo. A mi hermana María José, mi cuñado Juan Felipe y mi sobrino Miguel. A mi familia.
Agradecimientos Julián Colorado: a nuestro tutor y referente, Andrés Jaramillo Botero. Gracias por sembrar desde muy temprano la semilla de la ciencia; por tu tiempo, enseñanzas e inspiración. A los co-autores, Andrés y Juan Camilo, un sincero agradecimiento por su amistad y reconocimiento por sus aportes y logros. A la Pontificia Universidad Javeriana, alma mater y casa de continuos aprendizajes y crecimiento.
Dedicación Julián Colorado: a Dios y mi familia. A mi esposa Juliana, por tu amor y compañía; [...] cordón de tres dobleces no se rompe pronto
. A mis hijos Benjamín, Martín y Leticia; regalos de Dios. A mis padres Germán y Patricia por su instrucción y dirección, por su amor. A mi hermano Juan Felipe y Marita. Bendiciones y gratitud.
Bibliografía
[1] Andrés Jaramillo-Botero, Antonio Alejandro Matta-Gomez, Juan Fernando Correa-Caicedo, and Wilber Perea-Castro. Robomosp. IEEE Robotics Autom. Mag ., 13(4):62–73, 2006.
Introducción
Para comprender el amplio mundo de la robótica debemos reconocer su base histórica y conceptual. Los primeros autómatas de la antigua Grecia, los diseños visionarios de Leonardo da Vinci, o las ideas de pioneros como Isaac Asimov, entre otros, han sido fuente de inspiración para la comunidad de ciencia ficción y para los desarrolladores de la robótica de hoy. A lo largo de la historia, la humanidad ha soñado con la creación de seres mecánicos, inteligentes
y autónomos, que puedan realizar tareas por nosotros.
Con el advenimiento de la computación de alto rendimiento, el desarrollo de nuevos materiales y la evolución incremental de la inteligencia artificial, la robótica ha experimentado avances revolucionarios en las últimas décadas, transformando no solo la forma en que realizamos tareas cotidianas, sino también la manera en que exploramos y comprendemos el mundo que nos rodea. Desde la precisión sinigual de los brazos manipuladores industriales y los vehículos autoguiados en las líneas de producción, hasta los vehículos autónomos, terrestres, submarinos o aéreos (hoy llamados drones) que navegan por espacios no estructurados, y los androides o caminantes que se semejan a los antropomorfos naturales, los robots se han convertido en una parte integral de nuestra vida moderna y tendrán cada vez mayor presencia en nuestras vidas.
Si bien la robótica ha trascendido sus raíces en la ciencia ficción, impulsada hoy por avances en la inteligencia artificial, el aprendizaje automático, la visión por computadora y la mecánica, esta disciplina se ha convertido en el motor detrás de robots cada vez más autónomos, con capacidades y destreza mecánica que exceden las del humano.
Una parte esencial del campo de la robótica, es la que denominamos robótica computacional. Esta es una disciplina que combina la ingeniería, la informática, el control, la creatividad y la imaginación, entre muchas otras áreas. Nos sumerge en un mundo de posibilidades donde las máquinas cobran vida, bien sea para emular su comportamiento real en ambientes simulados, para controlarlo, o incluso para diseñar nuevos robots. La robótica integrada al poder de cómputo masivo que tenemos en el siglo XXI ha revolucionado la forma en que interactuamos con la tecnología y el mundo que nos rodea.
En este texto abordaremos los pilares fundamentales de la robótica, distribuidos por capítulos de la siguiente manera:
1. Las transformaciones espaciales, que permiten describir, planificar, localizar o controlar el movimiento de las partes de un robot en el mundo tridimensional, a partir de la geometría espacial.
2. La planificación de trayectorias complejas, bien sea en el espacio Cartesiano o en el espacio de las articulaciones de un robot (coordenadas internas), que permiten controlar el movimiento de las partes de un robot en su espacio de trabajo, con o sin obstáculos.
3. La cinemática, que nos permite entender cómo los robots se mueven e interactúan entre sí o con su entorno, desde una interpretación geométrica de sus trayectorias en tiempo (posiciones, velocidades y aceleraciones).
4. La dinámica, que nos permite estudiar las fuerzas que inducen el movimiento de sistemas con masa, a partir de las leyes físicas y sus respectivas ecuaciones.
5. El control, que nos permite aplicar las formulaciones físicas, cinemáticas y dinámicas, para garantizar que un robot cumpla con los movimientos deseados, de manera precisa y eficiente.
Abordaremos estos pilares en el contexto aplicado de los robots manipuladores, seriales o ramificados, vehículos autoguiados, particularmente los aéreos y terrestres. A partir del modelo de un robot manipulador serial mostraremos cómo derivar las ecuaciones generales para robots mas complejos, que pueden operar en ambientes diversos (agua, tierra, aire o espacio). Partiremos en los manipuladores robóticos, como brazos mecánicos diseñados para realizar tareas específicas, que buscan suplir al humano en acciones repetitivas, peligrosas, e incluso imposibles para este, que además requieren alta precisión y rapidez. Definiremos un manipulador como un sistema de múltiples cuerpos acoplados por articulaciones de diferentes tipos (de rotación, prismáticas, entre otras), que se mueve en el espacio cartesiano o el espacio de articulaciones. Extenderemos las formulaciones cinemáticas, dinámicas y de control de un manipulador serial, a configuraciones topológicas más complejas, incluyendo las de sistemas articulados ramificados (incluyendo antropomorfos), vehiculares, entre otros.
La robótica moderna nos presenta facetas emocionantes a través de vehículos terrestres que recorren nuestras calles sin conductor, o drones que realizan mapeo o reconocimiento aéreo de zonas extensas, o robots submarinos que exploran los océanos a profundidades extremas, o antropomorfos que conviven con el humano. Estos nuevos sistemas robotizados autónomos requieren algoritmos sofisticados, que se basan en las formulaciones presentadas en este texto, las cuales permiten la toma decisiones en tiempo real y la navegación por entornos complejos.
Bienvenidos al fascinante mundo de la robótica.
Los autores.
Capítulo 1
Transformaciones Espaciales
1.1. Mecánica de Cuerpos Rígidos
Un robot, independiente de su configuración, puede modelarse como un sistema de cuerpos rígidos¹ unidos por articulaciones. La localización de cada cuerpo rígido en el sistema articulado dentro de su entorno de trabajo se describe completamente por su posición y orientación en el espacio, respecto de cualquier sistema de coordenadas. Para representar la relación espacial entre los cuerpos que componen el robot y de estos con objetos en su ambiente de trabajo, es necesario establecer descriptores espaciales y operadores de transformación, que permitan relacionarlos entre sí.
Este capítulo describe las herramientas matemáticas necesarias para expresar dichas transformaciones en el contexto de la robótica, principalmente aquellas derivadas del álgebra lineal y de la teoría de tornillos [1]. Esta última permite el cálculo algebráico de vectores que surgen de la cinemática y dinámica de cuerpos rígidos, discutidas en capítulos posteriores. Concretamente, para expresar la localización de un cuerpo o la relación espacial entre cuerpos en el espacio cartesiano o en el espacio de coordenadas internas (por ejemplo, variables de articulación).
1.1.1. Localización Espacial: Sistemas de Coordenadas, Posiciones y Orientaciones
La descripción de la posición y orientación de las partes de un robot, u otros objetos que puedan estar dentro de su espacio de trabajo, se definen con respecto a un sistema de coordenadas de referencia. Un sistema de coordenadas se representa como un conjunto de tres ejes ortogonales² y se especifica la localización de cada punto del cuerpo rígido mediante un vector de posición, utilizando la terna , donde cada coordenada expresa la proyección de la ubicación del punto seleccionado sobre cada eje del sistema de coordenadas. En algunos casos es necesario definir más de un sistema de coordenadas, por lo cual cada vector asociado a un punto en el espacio es etiquetado con información, para identificar el sistema de coordenadas dentro del cual está definido (Figura (1.1)). En su forma geométrica, una flecha se utiliza para describir la magnitud y la orientación/dirección de un vector.
Representación de una Posición
Figura 1.1: Posición y orientación de un cuerpo rígido.Figura 1.1: Posición y orientación de un cuerpo rígido.
La posición de un punto arbitrario O′ sobre un objeto rígido en el espacio (por ejemplo, el elipsoide de la Figura (1.1)) se puede representar, asumiendo un sistema de coordenadas de referencia xyz, por el vector columna:
Representación de una Orientación
Para describir la orientación del cuerpo en el espacio se asigna un sistema de coordenadas fijo al cuerpo y luego se describe la relación espacial entre dicho sistema de coordenadas y el sistema de coordenadas de referencia. Una manera de describir el sistema de coordenadas ligado al cuerpo consiste en escribir los vector es unitarios de sus ejes principales en términos del sistema de coordenadas de referencia; esto resulta en un vector unitario de dimensión 3x1 para cada eje del sistema de coordenadas ligado al cuerpo. De manera conveniente se pueden expresar los tres vector es unitarios resultantes como las columnas de una matriz de dimensión 3 × 3. Esta matriz se denomina matriz de rotación en el espacio Euclideano, porque describe la relación de orientación entre un sistema de coordenadas relativo a otro (en este caso el de referencia, xyz). Asumiendo, como se muestra en la Figura (1.1), un sistema de coordenadas de referencia dado por xyz, un sistema de coordenadas ligado al cuerpo en movimiento dado por O′uvw, y los vector es unitarios x′, y′ y z′ apuntando en la dirección de los ejes coordenados u, v, y w, respectivamente, la matriz de rotación que expresa la orientación del sistema O′uvw respecto del sistema xyz está dada por:
Dado que los componentes de cualquier vector unitario son sus proyecciones sobre las direcciones unitarias del sistema de referencia empleado, cada uno de estos puede escribirse como el producto punto de un par de vector es unitarios. El producto punto de dos vector es unitarios resulta en el coseno del ángulo entre estos. Es por ello que los componentes de una matriz de rotación son referidos frecuentemente como cosenos de dirección:
Donde V1 y V2 son vector es unitarios con un mismo origen y α es el ángulo entre ellos.
Consecuentemente, los elementos rij en la matriz (1.2) pueden expresarse de la siguiente manera:
Se identifica cada vector columna de la matriz de rotación en la ecuación (1.4), como la proyección de los ejes principales del sistema de coordenadas en movimiento O′x′y′z′ sobre cada uno de los ejes principales del sistema de referencia xyz. Por inspección de la ecuación (3.4) se evidencia que los vector es fila de la matriz de rotación equivalen a los vector es unitarios de xyz, expresados en el sistema de coordenadas O′x′y′z′. Entonces, la descripción del marco xyz en términos del marco O′x′y′z′ está dada por la traspuesta de la ecuación (3.4). Es decir:
Esto sugiere que la inversa de una matriz de rotación básica es igual a su traspuesta,
. Esto se puede verificar teóricamente del álgebra lineal, dado que la inversa de una matriz con columnas/filas ortonormales es igual a su traspuesta:
Donde corresponde a la matriz de identidad.
Como se discutirá posteriormente, existen otro tipo de representaciones para describir la orientación de un cuerpo en el espacio.
Marco de Coordenadas (Sistema de Coordenadas)
Dado que la información requerida para describir completamente la ubicación de cualquier elemento de un robot debe incluir necesariamente un términos de posición (o desplazamiento relativo) y otro de orientación, se define por conveniencia una entidad denominada marco, que es simplemente un sistema de coordenadas asociado con cada cuerpo rígido. El origen de dicho sistema de coordenadas se escogerá en adelante para definir la posición espacial del cuerpo, con respecto de cualquier otro sistema de coordenadas.
1.1.2. Matrices de Rotación
Matrices de Rotaciones Básicas
Suponiendo dos sistemas de coordenadas de orígenes coincidentes en O, uvw y xyz, y asumiendo que el sistema uvw se rota con respecto al sistema xyz, se define una matriz de rotación como un operador que expresa la diferencia de orientación entre el sistema de coordenadas en movimiento (por ejemplo, uvw) y el sistema de referencia (por ejemplo, xyz). Por simplicidad ilustrativa, suponga la presencia de un cuerpo cúbico unitario sólido ligado por uno de sus vértices al sistema uvw en movimiento, es decir, se mueve con él (Figura (1.2)). Representando cualquier punto del cuerpo como un vector p respecto del sistema uvw, se define, entonces, la matriz de rotación como aquella que opera sobre p y transforma sus coordenadas, expresadas en el sistema de coordenadas rotado uvw en el sistema de coordenadas de referencia uvw.
Figura 1.2: Rotaciones básicas respecto de los ejes x, y, z.Figura 1.2: Rotaciones básicas respecto de los ejes x, y, z.
El operador matricial, R, que transforma las coordenadas de un punto cualquiera p, ligado a un sistema de coordenadas en movimiento uvw, a coordenadas expresadas dentro del sistema de coordenadas xyz, después de que el sistema de coordenadas uvw ha sido girado, está dado por:
Esta transformación es ortogonal (y ortonormal, pues sus componentes son vectores unitarios).
Así mismo, para expresar un punto ligado al sistema de coordenadas xyz en términos del sistema de coordenadas en movimiento uvw, se define el operador matricial Q:
Como los productos escalares son conmutativos, QR = RT R = R−1 R = U3 × 3 (donde U es una matriz de identidad de 3 × 3), siendo Q = R−1 = RT. Por definición, los componentes de un vector están dados por:
Donde pu, pv y pw son las proyecciones de p sobre los ejes principales del sistema de coordenadas uvw e iu, jv, kw son vector es unitarios sobre los ejes de uvw.
Utilizando la definición del producto escalar entre dos vector es (a y b) y el ángulo (α) entre ellos, a · b = |a||b|cos(α) (o a · b = cos(α) cuando a y b son vector es unitarios) y la ecuación anterior (3.9):
Por propiedad, el producto escalar es conmutativo, es decir a · b = b · a, por lo tanto, reescribiendo las ecuaciones anteriores de forma matricial llegamos a:
Y utilizando las identidades relacionadas con la naturaleza periódica del seno y el coseno para simplificar el valor angular:
Se puede, entonces, derivar las matrices de rotación con respecto a cada eje rotado, de la siguiente manera: Pxyz = Rx, α Puvw, donde Rx, α corresponde a una rotación respecto del eje x en un ángulo α. En este caso se observa que ix ≡ iu, pues no cambian después de la rotación (Figura (1.3)).
Igualmente:
Figura 1.3: Matriz de rotación básica, Rx, α.Figura 1.3: Matriz de rotación básica, Rx, α.
Estas son las matrices de rotaciones básicas, y pueden ser multiplicadas entre sí para representar una secuencia de rotación compuesta, respecto a cualquier marco de coordenadas, incluyendo el de referencia. Es importante tener en cuenta mientras las propiedades distributiva ((AB)C = A(BC)) y asociativa (A(B + C) = AB + AC) se cumplen en operaciones matriciales, la multiplicación de matrices no es conmutativa, con la excepción de IA = A es igual a AI = A; donde I corresponde a la matriz de identidad del mismo rango de A. En otras palabras, la secuencia de multiplicación altera el producto. Más adelante discutiremos cómo definir la secuencia de multiplicación matricial en el caso de rotaciones compuestas.
Las matrices representadas en las