Principios de valorización de activos financieros

Por José Luis Ruiz Pérez

El autor reproduce en este libro su búsqueda personal de los modelos teóricos que enlazan el análisis microeconómico con los métodos para la valoración de activos financieros. En este camino enfatiza la presentación conceptual y el uso intensivo de gráficos para facilitar que el lector interesado en adentrarse en el conocimiento de los activos financieros pueda entender aquellos principios que guían su valorización. Estas herramientas se complementan con la aplicación del cálculo diferencial y la estadística descriptiva, comúnmente utilizadas en los cursos de microeconomía intermedia. El libro revisita los trabajos de diversos autores que, a partir de la segunda mitad del siglo XX, construyeron modelos que convirtieron a la Economía Financiera en la disciplina que hoy conocemos. Lejos de las matemáticas sofisticadas presentes en las publicaciones financieras de vanguardia, el autor pretende hablar a los profesionales de Finanzas con un lenguaje más simple y que permita centrar la atención en aquellos principios y supuestos que deben guiar la decisión de aplicar los modelos financieros a un mercado o activo financiero en particular.

• Idioma: Español
• Editorial: Universidad del Pacífico
• Fecha de lanzamiento: 1 sept 2023
• ISBN: 9789972575235

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© José Luis Ruiz Pérez, 2023

De esta edición:

© Universidad del Pacífico

Jr. Gral. Luis Sánchez Cerro 2141

Lima 15072, Perú

Principios de valorización de activos financieros

José Luis Ruiz Pérez

1.ª edición: julio de 2023

Diseño de la carátula: Ícono Comunicadores

Tiraje: 400 ejemplares

ISBN: 978-9972-57-519-8

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: 2023-05482

BUP

Ruiz Pérez, José Luis.

Principios de valorización de activos financieros / José Luis Ruiz Pérez. -- 1a edición. -- Lima : Universidad del Pacífico, 2023.

299 p.

1. Activos financieros

2. Activos financieros--Valoración

3. Mercado de capitales

4. Sistema financiero

I. Universidad del Pacífico (Lima)

332.632 (SCDD)

La Universidad del Pacífico no se solidariza necesariamente con el contenido de los trabajos que publica. Prohibida la reproducción total o parcial de este texto por cualquier medio sin permiso de la Universidad del Pacífico.

Derechos reservados conforme a ley.

Índice de figuras

Figura 1.1: Dotación inicial, restricción presupuestaria y conjunto de alternativas de consumo factibles

Figura 1.2: Canastas preferidas a dos canastas indiferentes

Figura 1.3: Convexidad de las curvas de indiferencia

Figura 1.4: Preferencia por un consumo diversificado

Figura 1.5: Análisis gráfico de la elección del consumidor

Figura 2.1: Elección entre consumo presente y consumo futuro

Figura 2.2: Elección entre consumo presente y consumo futuro (individuo que ahorra-invierte)

Figura 2.3: Elección entre consumo presente y consumo futuro (individuo que se endeuda)

Figura 2.4: Decisión de producción y consumo del emprendedor

Figura 2.5: Decisión de producción y consumo del emprendedor con otros ingresos

Figura 2.6: Teorema de separación de Fisher

Figura 2.7: Evaluación de un proyecto individual

Figura 2.8: Efecto de un aumento en la tasa de interés sobre la riqueza y sobre el bienestar

Figura 2.9: Óptimos con dos tasas de interés

Figura 2.10: Restricción presupuestaria con diferencia en las tasas de interés

Figura 2.11: Evaluación de proyectos con spread en la tasa de interés

Figura 2.12 Impuesto al consumo

Figura 2.13 Impuesto al ingreso: el caso del empresario puro

Figura 2.14 Impuesto al ingreso: el caso del emprendedor que tiene otras fuentes de ingreso

Figura 2.15: Curva de rendimientos en soles al 30 de junio de 2017(*)

Figura 2.16: Fechas en un FRA

Figura 2.17: Fechas y tasas que intervienen en la valoración de un FRA

Figura 3.1: Conjunto de loterías con un mismo premio esperado

Figura 3.2: Curvas de indiferencia de un individuo neutral al riesgo

Figura 3.3: Curvas de indiferencia de un individuo adverso al riesgo

Figura 3.4: Curvas de indiferencia de un individuo propenso al riesgo

Figura 3.5: La paradoja de San Petersburgo

Figura 3.6: Utilidad de la riqueza con utilidad marginal decreciente

Figura 3.7: Consecuencialismo

Figura 3.8: Concavidad de la utilidad de la riqueza en un agente adverso al riesgo

Figura 3.9: Planes de consumo contingente y dotación inicial

Figura 3.10: Contrato contingente a escenarios

Figura 3.11: Restricción presupuestaria para el consumo contingente a escenarios

Figura 3.12: Maximización de la utilidad esperada

Figura 3.13: Cobertura mediante una póliza de seguros

Figura 3.14: Cobertura óptima para maximizar la utilidad esperada

Figura 3.15: Cobertura óptima cuando la prima permite obtener beneficios a la aseguradora

Figura 4.1: Frontera eficiente con dos activos perfectamente correlacionados positivamente

Figura 4.2: Frontera de varianza mínima con dos activos con correlación positiva imperfecta

Figura 4.3: Frontera de varianza mínima con dos activos con correlación negativa perfecta

Figura 4.4: Frontera de varianza mínima con un activo libre de riesgo y un activo riesgoso

Figura 4.5: Frontera de varianza mínima con un activo libre de riesgo y múltiples activos riesgosos

Figura 4.6: Maximización de la utilidad de inversionistas con diferente aversión al riesgo

Figura 4.7: Secuencia para la valorización de una acción por múltiplos

Figura 5.1: Línea del mercado de capitales (CML)

Figura 5.2: Línea del mercado de activos

Figura 5.3: Frontera de portafolios en el plano media-varianza y en el plano retorno esperado – desviación estándar

Figura 5.4: Frontera de portafolios con posiciones cortas

Figura 5.5: Portafolios de frontera y portafolio con covarianza cero

Figura 6.1: La caja de Edgeworth

Figura 6.2: Curvas de indiferencia y curva de contrato en la caja de Edgeworth

Figura 6.3: Dotación inicial y curvas de indiferencia en la caja de Edgeworth

Figura 6.4: Distribuciones eficientes en el sentido de Pareto

Figura 6.5: Núcleo de la economía de intercambio

Figura 6.6: Equilibrio general de la economía de intercambio

Figura 6.7: Segundo teorema del bienestar

Figura 7.1: Caja de Edgeworth en una situación sin riesgo sistémico

Figura 7.2: Economía con riesgo sistémico y líneas de certeza de los agentes

Figura 7.3: Líneas de certeza y curvas de indiferencia de dos agentes adversos al riesgo

Figura 7.4: Distribución eficiente en una economía con riesgo sistémico y dos agentes adversos al riesgo

Figura 7.5: Distribución eficiente en una economía con riesgo sistémico, un agente adverso al riesgo y un agente neutral al riesgo

Figura 7.6: Pagos de una call al vencimiento

Figura 7.7: Pagos de una put al vencimiento

Figura 7.8: Pago al vencimiento de portafolio de cuatro opciones

Figura 7.9: Diagrama de pagos del portafolio de opciones

Figura 7.10: Diagrama de pago para el portafolio límite

Figura 8.1: Estructura de árbol binomial

Figura 8.2: Árbol binomial del ejemplo

Figura 8.3: Ejemplo de una opción asiática

Figura 8.4: Cálculo recursivo del valor de la opción asiática

Figura 8.5: Construcción de escenarios como rangos de valores futuros

Figura 8.6: Aproximación discreta a una distribución continua del flujo de caja

Introducción

La valorización de activos financieros es un tema fundamental para las finanzas. En el caso de valores que cotizan en un mercado, el construir un modelo de valorización permitiría identificar si el precio del valor está muy alto o muy bajo, lo que sustentaría una decisión de venta o de compra, respectivamente. Si se tratara de un valor que no cotiza en un mercado, el modelo de valorización permitiría establecer un rango de precios para la negociación de su compraventa.

El presente libro se centra en hacer explícitos aquellos principios que acompañan la construcción de modelos de valorización y que tienen un fundamento en la teoría microeconómica. Estos modelos afrontarán la tarea siguiendo uno de dos caminos: (i) la determinación del equilibrio del mercado financiero o (ii) la identificación de relaciones entre los precios de mercado que impidan la obtención de ganancias por arbitraje.

En la primera vía, se tratará de describir el comportamiento de los agentes económicos para estudiar los determinantes de la oferta y demanda de los diferentes activos financieros. La acción conjunta de la oferta y la demanda logrará, al igual que en cualquier mercado, que se defina un precio de equilibrio para los activos financieros.

La segunda vía postula que los precios de diferentes activos en el mercado deben guardar relaciones que eviten que, combinando transacciones complementarias en diferentes valores, un agente pueda obtener ganancias sin incurrir en riesgo alguno. Un ejemplo se puede ver en el mercado de monedas: si un individuo cambia 100 euros en dólares, debería obtener los mismos dólares si lo hace directamente que si elige cambiar primero los 100 euros por libras esterlinas y luego las libras esterlinas por dólares.

Para defender que el precio de equilibrio de un activo financiero debe impedir las ganancias por arbitraje, se puede recurrir a la contradicción. En el ejemplo anterior, si el agente percibe que obtendría más dólares por sus 100 euros con la realización de la transacción intermedia, recurriría a la venta de euros a cambio de libras esterlinas y luego a la venta de libras esterlinas a cambio de dólares. Estos aumentos en las ofertas y demandas cambiarían los tipos de cambio respectivos hasta que llegaría un momento en que la diferencia en los dólares que recibiría en las dos alternativas desapareciera. En ese sentido, la teoría no niega la posibilidad de ganancias por arbitraje, sino que supone que, de ocurrir, su existencia sería tan efímera que es altamente probable que los precios de mercado observados en un momento en el mercado hayan eliminado todas esas posibilidades.

A lo largo del presente trabajo, se utilizarán ambos enfoques (equilibrio y arbitraje) dado que son complementarios y se enriquecen mutuamente. Los enfoques basados en el arbitraje tienen la gran ventaja de disminuir el requerimiento de información y de vincular el razonamiento a la racionalidad de los agentes económicos que participan en el mercado. Su limitación es que no proveen herramientas para analizar el futuro ni guías sobre la dinámica que podría seguir el mercado ante algún cambio estructural. Los modelos que tratan de explicar el equilibrio mejoran el entendimiento de los factores que inciden en el comportamiento de los agentes y, por consiguiente, aumentan el poder predictivo y la capacidad para gestionar la incertidumbre. El lado negativo de estos modelos es que requieren de una mayor cantidad de información y de poder computacional.

Este libro busca acompañar a un lector que haya llevado un curso de Microeconomía a nivel intermedio en el camino a descubrir aquellos elementos que influyen en la valorización de los activos financieros y conocer los fundamentos de los modelos más difundidos. Se espera que el material presentado le sirva para abordar la práctica profesional en las finanzas con una base más sólida de los principios en que se basan los modelos y con la posibilidad de discernir si los supuestos que sustentan estos modelos son adecuados para una situación particular que se encuentre en su ejercicio práctico. En el caso de quienes opten por contribuir al desarrollo de la disciplina en el futuro, esperamos que encuentren en este libro la motivación y preguntas abiertas que los inviten a aportar a un mejor entendimiento del funcionamiento de los mercados financieros.

La revisión de los modelos presentados se enfocará en los trabajos iniciales que plantearon los primeros pasos en una senda que ha probado ser fructífera con el paso de los años. Frente a la diversidad del material existente en el tema, este libro ha preferido enfocarse en las raíces y el tronco de un frondoso árbol, mas no en sus ramas más recientes que puedan alojar sus frutos más sofisticados. Se espera, más bien, que la revisión de estos conceptos iniciales influya para que los lectores ávidos de profundizar en estas materias, continúen su educación con los artículos más recientes en las publicaciones académicas de mayor prestigio.

En los primeros tres capítulos, se desarrollará el modelo de decisión basado en preferencias y restricciones para aplicarlo a decisiones financieras. El primer capítulo repasa el modelo de decisión de la teoría del consumidor incorporando la noción de dotación inicial. En el segundo capítulo, se analiza la elección intertemporal, introduciendo el concepto de la tasa de interés. El tercer capítulo se enfoca en la elección en situaciones de riesgo, desarrollando conceptos como la teoría de la utilidad esperada y las preferencias frente al riesgo.

Una vez descritas las herramientas metodológicas para el tratamiento del riesgo y de decisiones que involucran diferentes períodos, el cuarto capítulo define los activos financieros y analiza la teoría moderna del portafolio: ¿de qué manera un individuo elige activos financieros para maximizar su utilidad? La perspectiva desarrollada en la teoría moderna del portafolio permite presentar el primer modelo de valoración de activos financieros: capital asset pricing model (CAPM), en el capítulo quinto.

En el capítulo seis, se presenta la noción de equilibrio general en una situación con certeza, y en el capítulo siete, se expande el análisis a una situación con riesgo. El equilibrio general permite construir un modelo de valorización basado en el tratamiento de los escenarios descritos en la situación de riesgo y con una relación con el resto de los mercados de la economía.

En los últimos tres capítulos, se desarrollan modelos con un mayor grado de sofisticación. En el capítulo ocho, se trata sobre la valorización neutral al riesgo o martingala. Partiendo de una definición ligada directamente al modelo de equilibrio general, puede, a través del modelo binomial, permitir una gran flexibilidad en la valorización de activos financieros de mayor complejidad.

En los capítulos nueve y diez, se tratan modelos que buscan reconciliar la evidencia empírica de los mercados con los modelos teóricos. El capítulo nueve desarrolla el consumption capital asset pricing model (CCAPM), modelo que busca extender el análisis a múltiples períodos y establecer relaciones que puedan ser verificables a partir de datos agregados. En esa misma línea, el capítulo diez presenta algunos modelos multifactoriales que, guiados en gran medida por el principio de ausencia de arbitraje, procuran extender el conocimiento de los factores que influyen en el comportamiento de los mercados financieros y de la valorización de los activos.

1. La elección del individuo

A lo largo de este libro, se plantearán modelos que permitan reproducir de manera estilizada el proceso que sigue un agente económico para tomar decisiones. Serán de interés las decisiones respecto al consumo de bienes y servicios, la producción de estos y la compraventa de activos financieros. Se considera que este individuo es capaz de determinar el conjunto de alternativas a las que puede acceder (en función de su capacidad económica, ubicación geográfica, tiempo, estado de salud, etc.) y elegir entre ellas a su preferida (combinación óptima). Esta elección se reflejará en los mercados, donde comprará, producirá o venderá bienes, servicios y activos financieros, hasta llegar a quedarse con la combinación óptima.

En este capítulo, se analizarán las decisiones vinculadas al consumo de bienes y servicios. En primer lugar, será importante delimitar el conjunto de posibilidades de consumo que son accesibles para el agente económico. Se partirá por los bienes y servicios que el agente tiene en el momento inicial (dotación inicial). Luego, transformará esa dotación inicial aprovechando las alternativas de intercambio que le brinda el mercado. Adicionalmente, se necesitará establecer una forma de ordenar las diferentes alternativas de consumo en función de las preferencias del individuo. La elección del individuo saldrá de combinar ambos elementos: conocidas las posibilidades de consumo accesibles, se elegirá aquella que ocupe el lugar más alto en las preferencias del agente económico.

En capítulos posteriores, se extenderá el modelo tomando en consideración dos dimensiones particularmente importantes en las decisiones financieras: son decisiones que involucran varios diferentes momentos en el tiempo y deben considerar la incertidumbre frente a múltiples escenarios futuros. A partir de esas extensiones, podrá definirse lo que se considera un activo financiero y establecer principios para su valorización.

1.1 Dotación inicial, intercambio y tasa de intercambio

Los modelos más simples de elección del consumidor plantean una restricción debida al ingreso: el agente solo puede gastar una cantidad de dinero menor o igual a su ingreso. En otras palabras, la suma de las cantidades de los bienes consumidos multiplicadas cada una por su respectivo precio, tendrá que ser menor que su ingreso. El dato del ingreso se considera exógeno; es decir, no se relaciona con los bienes, servicios o precios del modelo.

En este caso, se añadirá un elemento adicional de complejidad: el ingreso es generado también dentro de la economía. Se reemplaza el ingreso exógeno por la noción de dotación inicial: el individuo posee una combinación de bienes y servicios antes de que se produzca cualquier intercambio. Por ejemplo, un individuo cuenta con su capacidad para trabajar. A partir de «vender» parte o toda esa dotación inicial, el agente económico contará con un ingreso que pueda intercambiar por otros bienes y servicios.

Si se considera el universo de bienes disponible en la economía, se puede pensar que el agente económico tendrá una dotación inicial con alguna cantidad (positiva o cero) de cada uno de los bienes. Si no está satisfecho con la combinación de bienes en su dotación inicial, puede cambiar parte de esos bienes por otros que valore más. Por ejemplo, puede ser que su dotación inicial incluya su capacidad para trabajar y la herencia de sus padres, pero no tiene vivienda, alimentos ni combustible. Tiene sentido que busque un trabajo, con lo cual cambiará parte de su capacidad de trabajo por dinero para comprar esos bienes que requiere.

¿Cuánto tendrá que trabajar y cuántos servicios de vivienda, alimentos y combustible recibirá a cambio? En una economía perfectamente competitiva, esto es determinado por los precios de mercado. Si para cada bien existiera un mercado donde se determine su precio, se podría calcular el valor monetario de la dotación inicial multiplicando la cantidad de cada bien en ella por su respectivo precio y sumando todos esos productos (tantos como bienes compongan la dotación inicial del individuo). Este valor, al que se llamará riqueza, equivale al valor monetario de todos los bienes que posee en su dotación inicial.

A partir de la riqueza calculada, se puede determinar cuáles son las canastas de bienes que podrá consumir, estableciendo que solo podrá acceder a aquellas canastas cuyo costo (la cantidad de cada bien multiplicada por su precio) sea menor o igual que su riqueza. La combinación de todas aquellas canastas cuyo costo sea igual a la riqueza del agente formará la restricción presupuestaria. La restricción presupuestaria funciona como una frontera que delimita aquellas canastas que sí son accesibles para el agente económico dada su riqueza, de aquellas cuyo costo excede la riqueza del agente y, por lo tanto, no son accesibles.

En el ejemplo anterior, el individuo podrá comprar alimentos, servicios de vivienda y combustible por un valor no mayor que el salario que recibe por su trabajo sumado a la herencia de sus padres.

Los precios pueden recibir diferentes nombres en función de las características de los bienes (especificaciones físicas, plazo, lugar y escenario en el que estará disponible). En los mercados financieros, se habla de tasas de interés, tipos de cambio o primas de seguro en lugar de precios, pero los términos son equivalentes. De forma más general, a la tasa de intercambio entre dos bienes se la llama el precio relativo pi /pj.

Estos conceptos pueden ilustrarse con la ayuda de la figura 1.1. En los ejes se representan las cantidades de dos bienes (x₁ y x₂). La dotación inicial está representada por ω. La línea discontinua que pasa por la canasta ω representa la restricción presupuestaria. Entre la restricción presupuestaria y los ejes estarán aquellas canastas donde el gasto es menor que la riqueza del individuo (p₁x₁ + p₂x₂ < p₁ω₁ + p₂ω₂).

Figura 1.1

Dotación inicial, restricción presupuestaria y conjunto de alternativas de consumo factibles

1.2 Preferencias y utilidad

Una vez definido el conjunto de todas las opciones factibles para ser consumidas con la riqueza disponible, se requerirá de algún mecanismo para elegir cuál de ellas es la preferida. En otras palabras, se requiere que el individuo sea capaz de expresar un orden de preferencia.

La función de utilidad u es una función que, teniendo como argumentos a las cantidades consumidas de todos los bienes, permite obtener un número que reflejará dicho orden de preferencia. Lo que se busca con esta función de utilidad es que si una canasta a es preferida a una canasta b, entonces la utilidad de a (es decir, el resultado de reemplazar en la función de utilidad las cantidades consumidas de cada bien en la canasta a) será mayor que la utilidad de b. Asimismo, si el agente económico se muestra indiferente entre dos canastas c y d, entonces la utilidad de c será igual a la utilidad de d.

Una función de utilidad que representa un ordenamiento de preferencias es llamada ordinal. Esto significa que la función puede ser usada solo para ordenar diferentes canastas de consumo tomando en consideración la satisfacción que proveen; el nivel de utilidad por sí mismo no provee ninguna información, ni la diferencia entre la utilidad de diferentes canastas. Por ejemplo, no significa nada decir que la canasta x provee el doble de satisfacción que la canasta x'. Lo único que interesará es saber si la canasta x provee más, menos o igual utilidad que la canasta x'.

En línea con el razonamiento expresado anteriormente, el supuesto fundamental de la teoría económica, conocido como racionalidad, es que cada individuo elige la canasta que le gusta más, dadas las restricciones que enfrenta. Su dotación inicial y los precios de mercado definen el conjunto de canastas que pueden ser adquiridas. Una vez dentro del mercado, la restricción que enfrentan los individuos es su presupuesto, por lo que el concepto de racionalidad significa que el individuo elige lo que prefiere entre los bienes que puede comprar.

Para facilitar el tratamiento del problema, se plantean supuestos adicionales a las preferencias para que sea factible representarlas mediante una función de utilidad. Estos supuestos adicionales son llamados los axiomas de las preferencias del consumidor¹. Estos axiomas son:

1.Las preferencias son completas: si se toman dos canastas de bienes a y b cualesquiera, un individuo podrá establecer un orden de preferencia entre ellas. Este orden de preferencia se plasmará en uno de los siguientes resultados:

•a es preferido a b (se representará con la notación a ≻ b).

•b es preferido a a (b ≻ a).

•es indiferente entre a y b (a ∼ b).

Este axioma garantiza que el tomador de decisión siempre va a poder establecer un orden entre las opciones que se le planteen.

2.Las preferencias son reflexivas: dada una canasta de bienes , deberá cumplirse que sea indiferente a sí misma (a ∼ a). Este axioma garantiza la estabilidad en el orden establecido por las preferencias.

3.Las preferencias son transitivas: si se toman tres canastas de bienes a, b y c cualesquiera, y un individuo prefiere a a b (a ≻ b) y b a c (b ≻ c), entonces debe preferir a a c (a ≻ c). Como consecuencia de esta propiedad, se espera cierta consistencia en el ordenamiento que hace el consumidor, de manera que no se llegue a conclusiones diferentes en función del orden en que se hacen las comparaciones.

4.Las preferencias son continuas: si a es preferido a b, y c es «muy parecido» ² a b, entonces a será preferido a c (a ≻ c). El propósito de este axioma es asegurar que no haya cambios repentinos en las preferencias. Por ejemplo: si cambia ligeramente la cantidad de un bien considerada dentro de una canasta, eso no debiera alterar el orden de preferencia de cualquiera de las dos canastas (la original y la modificada ligeramente) respecto a una tercera opción. Desde el punto de vista matemático, esto permite definir a la utilidad como una función continua y diferenciable, lo que, a su vez, facilita la aplicación del cálculo diferencial.

Si bien bastaría con el cumplimiento de esos axiomas para definir una función de utilidad que representara las preferencias del consumidor, es común trabajar con dos axiomas adicionales que ayudan a simplificar la solución de los problemas de maximización y a acercar el modelo de comportamiento del consumidor a ciertos hechos estilizados que se encuentran en la realidad. Estos axiomas son:

5.Las preferencias son monotónicas: el consumidor solo obtiene utilidad del consumo de bienes, por lo tanto, adquirirá bienes hasta que haya empleado toda su riqueza. Este axioma se presenta en ocasiones como el modelar a un consumidor insaciable, que nunca llega a saturarse con las unidades consumidas de un bien.

Este axioma tiene un origen de índole práctica. El problema de encontrar la combinación de bienes que maximizan la utilidad del consumidor sujeto al cumplimiento de una restricción presupuestaria se simplifica notablemente si de antemano sabemos que esa combinación se encontrará sobre la restricción y podemos descartar todas las demás opciones.

No obstante, este beneficio práctico tiene un costo que se manifiesta en la pérdida de generalidad. Las personas pasan por situaciones en las que se saturan (se «aburren») con el consumo repetido de un mismo bien (sean programas de televisión, jugos de frutas o tiempo en internet), por lo que pensar en un consumidor que nunca se satura puede parecer irreal.

La defensa del axioma de monotonicidad viene de preguntar: ¿qué hace normalmente el individuo racional que alcanza el punto de saturación (vio demasiados programas de TV, bebió tanto jugo de fruta que se siente lleno, o dedicó tanto tiempo a internet que ya no tiene más que hacer en las redes sociales o búsqueda adicional que realizar)? Normalmente, el consumidor deja de consumir ese bien o, probablemente con mayor frecuencia, no espera a estar totalmente saturado para dirigir sus recursos (dinero, tiempo, atención, etc.) hacia otras alternativas de consumo. Por lo tanto, si bien puede existir el punto de saturación, es difícil que la elección del consumidor esté cerca de él y, menos aún, que lo sobrepase.

6.Las preferencias son convexas. Para explicar la idea de convexidad, se utilizarán varios de los elementos discutidos hasta el momento. Se partirá de imaginar un mundo con dos bienes (x₁ y x₂) y un consumidor que es indiferente entre dos canastas construidas a partir de estos bienes: a y b.

Si consideramos que se cumple el axioma de monotonicidad, como se aprecia en la figura 1.2, se podrá identificar una región de canastas preferidas a a (aquellas arriba y a la derecha de a o b) y una región de canastas frente a las cuales el consumidor prefiere a. Sin embargo, quedan múltiples combinaciones cuyo orden de preferencia no está definido.

A fin de que las preferencias sean completas, será necesario eliminar esa incertidumbre, ya que cualquier canasta debe poder ser comparada con a o b. Para ello, sería interesante ubicar otras canastas que sean indiferentes con a y b, hasta formar una curva continua que sirva de frontera entre las canastas que dan más utilidad que a y las canastas que dan menos utilidad que a. El lugar geométrico de todas las canastas entre las que el consumidor es indiferente se denominará curva de indiferencia.

La monotonicidad llevaría a esperar que las curvas de indiferencia tengan pendiente negativa. Esto porque si se desea mantener el mismo nivel de utilidad entre dos canastas, un aumento en el consumo de uno de los bienes tendrá que ser compensado por una reducción en el consumo del otro bien. Esta relación de sustitución entre los dos bienes deberá ser negativa. Más aún, para desplazamientos muy pequeños dentro de la misma curva de indiferencia, se podrá aproximar esta relación de sustitución por la tasa marginal de sustitución (TMgS), que viene a ser la pendiente de la curva de indiferencia.

Figura 1.2

Canastas preferidas a dos canastas indiferentes

La figura 1.3 presenta dos posibilidades para las curvas de indiferencia, en función de que se plantee que sean convexas respecto al origen (línea continua) o cóncavas respecto al origen (línea discontinua). Si las curvas de indiferencia son convexas (como plantea el axioma), se satisfacen las siguientes condiciones:

Figura 1.3

Convexidad de las curvas de indiferencia

•La tasa marginal de sustitución disminuye a medida que aumenta el consumo del bien. A medida que se consume más de x₁ (desplazamiento a la derecha a través de la curva de indiferencia), un aumento de una unidad de x₁ es «compensado» (es decir, se llega a una canasta con la misma utilidad) mediante una reducción cada vez menor del consumo de x₂.

•El consumidor prefiere diversificar su consumo a concentrarlo en alguno de los bienes. En la figura 1.4, se muestra una línea recta que une las canastas a y b. Las canastas que se encuentran sobre esa recta son combinaciones de cierta proporción de a con cierta proporción de b. Una curva de indiferencia convexa implicará que el consumidor obtiene más utilidad de mezclar a y b que de elegir cualquiera de estos dos extremos. En otras palabras, si se desplaza en la dirección de cualquiera de las dos flechas, se accederá sucesivamente a mayores niveles de utilidad.

Figura 1.4

Preferencia por un consumo diversificado

Las preferencias que cumplen los axiomas antes mencionados pueden ser representadas por una función de utilidad, de manera que el ordenamiento que producen las preferencias entre dos o más canastas sea equivalente al ordenamiento que se obtendría al calcular la utilidad de las cantidades de cada bien incluidas en esas mismas canastas.

1.3 La elección del consumidor

A partir de la figura 1.5, se puede explicar gráficamente la elección del consumidor entre dos bienes. Se puede partir de la dotación inicial ω y evaluar el nivel de utilidad que alcanza el consumidor. Como se ha venido planteando, la alternativa elegida debe pertenecer a las canastas factibles (con un gasto menor o igual al valor de la dotación inicial) y ser la que otorgue la mayor utilidad. En la figura, se ha llamado c a esta canasta óptima.

Figura 1.5

Análisis gráfico de la elección del consumidor

En términos gráficos, la canasta c reúne dos condiciones:

•Tangencia de la curva de indiferencia con la restricción presupuestaria. El hecho de que la canasta óptima se ubique en un punto de tangencia, responde a la necesidad de encontrar cuál es la canasta sobre la restricción presupuestaria que está sobre la curva de indiferencia más alta. Siguiendo el razonamiento planteado en la figura 1.4, el movimiento hacia fuera dentro de la frontera delimitada por la restricción presupuestaria llevará hacia ese punto de tangencia. Una interpretación geométrica de la tangencia es que, en la canasta c, la pendiente de la curva de indiferencia será igual a la pendiente de la restricción presupuestaria o, lo que es lo mismo: