Equisbí

Por Sergio R. Caprile

Este libro comienza, como es mi costumbre, con un capítulo introductorio en el cual intento abordar la mayor cantidad posible de conocimientos previos que considero el lector debe tener para poder comprender lo que sigue a continuación. Obviamente esto no reemplaza una formación académica ni la lectura comprensiva de textos especializados en el tema, pero al menos provee una base consistente sobre la cual edificar los conocimientos necesarios, y tal vez, si mi trabajo fue correcto, generar cierta picazón que remueva la certeza omnisciente y promueva la investigación más exhaustiva en el tema.
Considero que hay tres formas posibles de clavar un clavo:
✒ Experimentar con objetos de diversas formas y durezas, hasta descubrir que las duras y planas como la cabeza son superiores a las blandas e irregulares como la mano.
✒ Usar un martillo.
✒ Delegar la tarea

Difícilmente este libro reemplace la experiencia de años de carpintería, pero cuando menos será lo suficientemente útil como para saber contratar a un carpintero antes de lastimarse la mano.

• Idioma: Español
• Editorial: Sergio R. Caprile
• Fecha de lanzamiento: 19 jun 2013
• ISBN: 9781301822782

Sergio R. Caprile

El autor es Ingeniero en Electrónica (UTN FRA), ARM Accredited Engineer (AAE) y ARM Accredited MCU Engineer (AAME) Con varias décadas de experiencia, se dedica al desarrollo de hardware y firmware para sistemas dedicados y electrónica en general, habiendo colaborado en la concepción y el desarrollo de gran cantidad de productos basados en diversas tecnologías; y a la generación y difusión de conocimiento, desarrollando el soporte en castellano para productos como Rabbit y XBee, y ahora ARM. También participa activamente en charlas, conferencias, workshops y seminarios en eventos tanto del ámbito industrial como el académico. Otras publicaciones del autor: Desarrollo con procesadores y módulos Rabbit (tercera edición, 2007) ISBN: 978-987-23942-0-2 El camino del conejo (segunda edición, 2009) ISBN: 978-987-1301-28-7 Equisbí. Desarrollo de aplicaciones con comunicación remota basadas en módulos ZigBee y 802.15.4 (2009) ISBN: 978-987-1301-17-1

Vista previa del libro

Prefacio

- ¡Ah!¿Un libro sobre ZigBee?

- No.

- Uh, otro libro sobre comunicaciones...

- Tampoco.

- Pero... ¿Tengo que leerme todo eso para poder usar los XBee?

- Ni...

¿Confundido?

Si bien es posible clavar un tornillo con un martillo, o un clavo con el culote de un destornillador, la combinación correcta de herramientas produce los mejores resultados. Esta es mi forma socrático-oriental de presentarte, estimado lector, este libro. ¿Buscas respuestas? Tal vez encuentres más preguntas, pero seguramente también hallarás elementos como para contestarlas. ¿No tienes tiempo para entrenamiento de monje zen y debes resolver el problema ya mismo? Tienes algunos resúmenes cortos, pero lamento informarte que los desarrollos realizados basándose en explicaciones sintéticas suelen tener problemas extensivos. Este libro comienza, como es mi costumbre, con un capítulo introductorio en el cual intento abordar la mayor cantidad posible de conocimientos previos que considero el lector debe tener para poder comprender lo que sigue a continuación. Obviamente esto no reemplaza una formación académica ni la lectura comprensiva de textos especializados en el tema, pero al menos provee una base consistente sobre la cual edificar los conocimientos necesarios, y tal vez, si mi trabajo fue correcto, generar cierta picazón que remueva la certeza omnisciente y promueva la investigación más exhaustiva en el tema.

- OK, ok, pero entonces, ¿cuál es la finalidad de este libro?

Considero que hay tres formas posibles de clavar un clavo:

    ✒ Experimentar con objetos de diversas formas y durezas, hasta descubrir que las duras y planas como la cabeza son superiores a las blandas e irregulares como la mano.

    ✒ Usar un martillo.

    ✒ Delegar la tarea.

Difícilmente este libro reemplace la experiencia de años de carpintería, pero cuando menos será lo suficientemente útil como para saber contratar a un carpintero antes de lastimarse la mano.

Capítulo 1 Introducción

1.1 Preámbulo

Este capítulo contiene información sobre numerosos temas teóricos que, generalmente, son necesarios a la hora de realizar un proyecto que involucra comunicaciones inalámbricas. Dado que resultaría imposible detallar apropiadamente todos dichos conceptos, enunciaremos los detalles fundamentales y trataremos de abordarlos desde un punto de vista práctico, sin perder su significado académico, con la extensión dedicada de acuerdo al grado de oscurantismo observado. Existe al final del capítulo un apéndice dedicado a extenderse en forma más académica en aquellos temas que resulten más sedientos de esto, sin por ello actuar como somnífero sobre los lectores más pragmáticos.

1.2 Principios de comunicaciones inalámbricas

Comenzamos este capítulo resumiendo algunos de los conceptos fundamentales que hacen a una comunicación inalámbrica, es decir, aquélla que no se realiza por medio de un cable. Dentro de este tipo, y en particular, nos referimos a comunicaciones por ondas electromagnéticas, lo que comúnmente referimos como radiofrecuencia (RF).

1.2.1 Potencia de salida

La potencia de salida de un transmisor de RF es una medida de la intensidad de energía de RF que éste puede entregar a una carga (una antena). Si bien es común especificarla en watts o miliwatts, es más manejable el expresarla en dBm o decibeles respecto de 1mW, es decir, P[dBm] = 10 ⋅ log (P[mW]). El concepto de dBm nos da además una idea de qué tan útil es aumentar la potencia de salida de un transmisor, por ejemplo, si pasamos de 1W a 2W (el doble de potencia en watts), estamos pasando de 30 a 33 dBm; sólo hemos ganado 3dB. Según veremos en el párrafo siguiente, al tener en cuenta la propagación de esa energía, el decibel es una herramienta que nos permite tener una visión más clara. Entonces, un transmisor de mayor potencia consume mayor energía (dadas las demás condiciones iguales), pero este incremento de energía no se transfiere en igual medida como un aumento de las prestaciones obtenidas.

Otra forma de especificar la potencia es el dBW:

P[dBW] = 10 ⋅ log (P[W]) = P[dBm] - 30

1.2.2 Ganancia de antena

Como bien sabemos, una antena es un elemento pasivo, y como tal no puede tener ganancia. El concepto de ganancia de antena responde a un modelo que nos permite realizar cálculos de enlace, y se basa en la direccionalidad de una antena, es decir, la capacidad de concentrar la energía irradiada en un sector del espacio.

1.2.2.1 Antena isotrópica

Una antena isotrópica es un concepto ideal de antena que irradia de igual forma en todas direcciones. Podemos entonces calcular la intensidad de la radiación Er en un determinado punto siguiendo la ley de la inversa del cuadrado de la distancia r a la fuente¹

La energía en un punto situado a una distancia r se calcula como: Er =

E

A

=

E

4πr²

. Puede observarse la explicación en el apéndice.

, o expresándolo en decibeles²

Er =

E

4πr²

⇒ Er[dB] = 10 log (

E

4πr²

) = E[dB] - 20 log (r) - 11dB

, restando 20dB ⋅ log (r). Una derivación muy utilizada de este último caso es restar 6dB cada vez que se duplica la distancia³

R = 2r ⇒ 20 ⋅ log (R) = 20 ⋅ log (2r) = 20 ⋅ log (2) + 20 ⋅ log (r) = 20 ⋅ log (r) + 6dB

.

1.2.2.2 Patrón de irradiación (radiation pattern)

Cada tipo de antena tiene un patrón espacial de irradiación que la caracteriza, es decir, irradia más en determinadas direcciones y menos en otras. La totalidad de la energía irradiada será por supuesto menor o igual que la transmitida, pero en las direcciones en que la antena concentra mayor cantidad de energía, es decir, es más direccional, ésta tendrá mayor intensidad que la que tendría debido a una antena isotrópica colocada en el mismo lugar; esto representa una ganancia respecto de una antena isotrópica, y es lo que suele indicarse como ganancia de antena y representarse como una cifra en dB o dBi (la i indica que es respecto a una antena isotrópica), y en algunos casos en dBd (respecto a una antena dipolo).

Diagramas de irradiación

Técnicamente, un diagrama de irradiación es un corte en el plano vertical u horizontal del patrón de irradiación, generalmente con las ganancias expresadas en decibeles, sobre un diagrama polar.

El diagrama en la figura 1.2.1 corresponde a una antena dipolo conectada a un XBee-Pro, con la ganancia normalizada al máximo.

image: 9G__inProcess_equisbi_graph_intro_radpat.png

Figura 1.2.1:

Diagrama de irradiación de una antena dipolo conectada a un XBee-Pro

1.2.2.3 EIRP

La suma de la potencia entregada por el amplificador expresada en dBm más la ganancia de antena expresada en dBi (menos las pérdidas de la línea de transmisión entre ambos, expresada en dB) es la energía efectiva que sería irradiada por una antena isotrópica en iguales condiciones, y se indica por la sigla EIRP, que justamente expresa eso en inglés (Effective Isotropic Radiated Power). Es común que los entes reguladores de la utilización del espectro radioeléctrico pongan límites de este tipo a la máxima energía que pueda radiarse, de modo que el transmisor más la antena no puedan superarlo. Un límite de +10dBm EIRP significa que puedo utilizar un transmisor de 1mW y una antena de 10dBi, un transmisor de 10mW y una antena isotrópica, etc.

Cuidado, algunos fabricantes expresan la potencia de salida de sus equipos como EIRP, es decir, la potencia real del equipo es en realidad mucho menor, dado que la cifra expresada tiene sumada la ganancia de antena.

1.2.3 Sensibilidad de recepción

Un receptor es un dispositivo bastante complejo, el cual se encarga de amplificar y extraer la información de una señal muy débil. Como todo sistema físico, realiza su función lo mejor que puede pero no es ideal, necesita una cantidad mínima de energía para poder realizarla. Esto se debe a que un receptor es esencialmente un amplificador y todo amplificador tiene un ruido propio, dado entre otras cosas por el ruido térmico⁴

La energía del ruido térmico se calcula como En = 4kTBw, donde T es la temperatura absoluta, k la constante de Boltzmann y Bw el ancho de banda considerado.

o de Johnson. La energía a recibir deberá superar a la de este ruido interno para poder ser correctamente procesada. Ese mínimo de energía es lo que se conoce como sensibilidad de recepción, y suele especificarse en μV o más comúnmente en dBm, para un ancho de banda determinado por la señal a recibir.

1.2.4 Relación de señal a ruido

La relación de señal a ruido o SNR (Signal to Noise Ratio) es, como su nombre lo indica, el cociente entre la señal útil y el ruido en un determinado ancho de banda. Generalmente se la expresa en dB.

1.2.5 Propagación

El fenómeno de formación y propagación de una onda electromagnética es algo complejo. Para modelar qué sucede cuando una señal se aplica a una antena se aceptan dos regiones en las cuales el comportamiento se halla bien definido. Una de éstas es cercana a la antena, a menos de 2

a²

λ

(a es la apertura de la antena, que en el caso de un reflector parabólico coincide con el diámetro de éste, y λ es la longitud de la onda electromagnética), denominada campo cercano, y la otra abarca el resto del espacio, denominada campo lejano.

El rango de frecuencias que nos interesa es el de las microondas, cuyo comportamiento es bastante similar al de la luz.

La intención de lo que veremos a continuación no es lograr que el lector ocasional sea un experto en el cálculo de enlaces, sino darle elementos para reconocer los casos simples y derivar en personal idóneo los casos más complejos⁵

así como también intentar evitar que el personal de Soporte Técnico pase largas horas enumerando las posibles razones ante reiteradas consultas del tipo ¿y por qué no me anda?...

.

1.2.5.1 Atenuación por espacio libre

Modelamos entonces que una onda electromagnética en campo lejano, al propagarse por el espacio libre, es decir, sin obstáculos, lo hace en línea recta y resulta atenuada.

Fórmula de Friis

En la presentación del concepto de ganancia de antena dejamos traslucir la ley de la inversa del cuadrado y evocamos el concepto de antena isotrópica. En una de sus formas, podemos enunciar la ecuación de Friis⁶

Harald T. Friis, ingeniero danés nacionalizado estadounidense, de Bell Labs, que nos legó esta (y otra) importante ecuación

como:

Pr

Pt

= Gt ⋅ Gr ⋅ (

λ

4πr

)²

La ecuación anterior nos dice que la relación entre la potencia recibida y la transmitida depende de la ganancia de ambas antenas, del cuadrado de la longitud de onda y de la inversa del cuadrado de la distancia entre las antenas. El término (

λ

4πr

)² lo utilizamos para representar el concepto de atenuación por espacio libre.

En decibeles:

Pr

Pt

[dB] = Gt[dB] + Gr ⋅ (

λ

4πr

)²[dB]

Pr[dB] = Pt[dB] + Gt[dB] + Gr[dB] - 20 ⋅ log (f) - 20 ⋅ log (r) + 147 , 56dB

Línea directa de visión (LOS)

El concepto anterior, particularmente en microondas, es válido si las antenas pueden verse, es decir, ambas están en una línea directa de visión (line of sight) y no existen obstáculos que puedan obstruir el paso o incluso ocasionar reflexiones.

image: 10G__inProcess_equisbi_graph_intro_los-.png

Figura 1.2.2:

Linea directa de visión (LOS)

En estas condiciones, podemos utilizar la fórmula de Friis.

1.2.5.2 Zonas de Fresnel

La existencia de objetos en las inmediaciones de la línea directa de visión ocasiona reflexiones y por ende señales que arriban con distinta fase al receptor, debido a que recorren trayectos de diferente longitud. Esto fue estudiado por Fresnel⁷

Augustin-Jean Fresnel, físico francés que contribuyó al establecimiento de la teoría de la óptica ondulatoria.

, quien nos legó una ecuación que permite calcular la distribución de zonas (elipsoides⁸

En algunas publicaciones, mayormente de divulgación, se las representa como husos o balones de football entre antenas. Lo cierto es que son elipsoides cuyos focos son las antenas; su desmitificación puede observarse en el apéndice.

) en las cuales la interferencia producida por la diferencia de fase es constructiva y zonas donde es destructiva. Fresnel demostró que el efecto de las demás zonas es compensado por el efecto constructivo de la primera, de modo que un reflector dentro de la primera zona define el efecto ocasionado, razón por la cual es necesario dejar esta zona libre. La figura 1.2.3⁹

Imagen de dominio público tomada de Wikipedia y modificada.

ilustra este concepto.

image: 11G__inProcess_equisbi_graph_intro_FresnelSVG_svg.png

Figura 1.2.3:

Zona de Fresnel

La ecuación que nos permite calcular el radio de las zonas de Fresnel en determinado punto del trayecto es la siguiente:

Fn = √

nλd(r - d)

r

, donde n es el número de zona de Fresnel, r la distancia entre antenas, y d la distancia del transmisor al punto en cuestión. La forma más común es expresar las distancias desde ambas antenas: Fn = √

nλd1d2

d1 + d2

.

La primera zona de Fresnel (la cual, como dijéramos, debemos dejar libre de obstáculos), tiene entonces un radio:

F1 = √

λd(r - d)

r

= √

λd1d2

d1 + d2

1.2.5.3 Altura de la antena (reflexiones en el suelo)

Debido a que la altura de la antena es finita y la tierra es el soporte, lamentablemente éste es un factor que puede influir en la ecuación. Cuando la distancia entre antenas es tal que la primera zona de Fresnel es cortada por la tierra, ya no podemos aplicar más el modelo de Friis, pues no estamos más en espacio libre.

Si consideramos la superficie de la tierra como plana, lo cual es aproximadamente cierto en distancias de algunos¹⁰

La deducción puede observarse en el apéndice.

kilómetros, a la antena receptora arriban una onda directa, y una reflejada en la tierra.¹¹

En realidad existen algunas otras más, debido a varios fenómenos de propagación. Dada su baja incidencia, modelamos este escenario mediante un rayo directo y uno reflejado

image: 12G__inProcess_equisbi_graph_intro_planelos-.png

Figura 1.2.4:

Reflexiones en el suelo

En el gráfico de la figura 1.2.4 pueden apreciarse los trayectos S1 y S2. La diferencia de fase entre las señales que arriban por ambos trayectos es:

Δ φ =

2π

λ

⋅ (√

r² + ( ht + hr ) ²

- √

r² + ( ht - hr ) ²

), que puede aproximarse¹²

Si r > ht + hr, podemos factorear y aplicar √

1 + ξ

≃ 1 +

ξ

2

por Δ φ =

2π

λ

⋅ (

2 ⋅ ht ⋅ hr

r

), que como vemos tiende asintóticamente a cero conforme aumenta la distancia entre antenas. Es decir, ambas señales arriban con una diferencia de trayecto muy corta y con una inversión de fase en la reflexión sobre la superficie de la tierra.

El efecto producido¹³

Puede seguirse la deducción en el apéndice

al considerar que el campo eléctrico debido a la interacción de ambas señales es E = E0 ⋅ (1 + ρ ⋅ ej Δ φ), donde ρ es el coeficiente de reflexión de la tierra; es una transferencia del tipo [2 ⋅ sin (

2π ⋅ ht ⋅ hr

λr

)]², que incorporado a la ecuación de Friis resulta

Pr

Pt

= Gt ⋅ Gr ⋅ (

λ

4πr

)² ⋅ [2 ⋅ sin (

2π ⋅ ht ⋅ hr

λr

)]².

A su vez, si la distancia entre antenas es r >

ht ⋅ hr ⋅ 2π

λ

, esta fórmula se puede aproximar¹⁴

Para ángulos pequeños, el valor del seno del ángulo y el ángulo en radianes tienen aproximadamente el mismo valor

a:

Pr

Pt

= Gt ⋅ Gr ⋅ (

λ

4πr

)² ⋅ [

4π

λ

⋅ (

ht ⋅ hr

r

)]² = Gt ⋅ Gr ⋅

( ht ⋅ hr ) ²

r⁴

image: 13G__inProcess_equisbi_graph_intro_planelos.png

Figura 1.2.5:

Función transferencia debido a reflexiones en el suelo

En el gráfico de la figura 1.2.5 podemos apreciar el efecto resultante de la variación de fase en distancias cortas, y la validez de la aproximación para un enlace en 2,4 GHz con antenas isotrópicas de 5 y 3m de altura.

Expresando la ecuación anterior en decibeles:

Pr[dB] = Pt[dB] + Gt[dB] + Gr[dB] + 20 ⋅ log ht + 20 ⋅ log hr - 40 ⋅ log r

1.2.5.4 Modelo de Egli

El modelo de Egli es una corrección empírica a la fórmula de Friis, que luego de haber analizado las reflexiones en el suelo estamos en condiciones de ver claramente de dónde proviene.

Pr

Pt

= Gt ⋅ Gr ⋅ (

ht ⋅ hr

r²

)² ⋅ (

40

f

)²

En decibeles:

Pr[dB] = Pt[dB] + Gt[dB] + Gr[dB] + 20 log ht + 20 log hr - 40 log r + 20 log (

40

f

)

1.2.5.5 Irregularidades del terreno

Cuando por desgracia la vida real se interpone ante nuestros objetivos y deja de ser lo que nosotros queremos para ser lo que realmente es, debemos tomar en cuenta algunos de los factores adicionales que habíamos dejado de lado al idealizar nuestro modelo.

Difracción

Difracción es el fenómeno por el cual las ondas electromagnéticas se doblan al borde de un objeto o pasan por orificios más pequeños que su longitud de onda. En el caso que nos interesa, una onda electromagnética puede llegar detrás de un cerro que tapa la línea directa de visión sin que haya rebotes en otros objetos¹⁵

Más información en el apéndice

.

image: 14G__inProcess_equisbi_graph_intro_difrac-.png

Figura 1.2.6:

Difracción debido a irregularidades en el terreno

El coeficiente de difracción es ν = H√

2

(dr + dt)

dr ⋅ dt ⋅ λ

y la atenuación que esto adiciona al camino directo es:

L(ν)[dB] ≃

El dibujo en la figura 1.2.6 no es la mejor elección, dado que la fórmula que presentamos es para objetos en punta, siendo el resultado obtenido algo mayor para objetos redondeados.

De existir varios objetos, se suman las atenuaciones individuales en decibeles.

Estimación estadística (statistical path loss law)

Así como vimos que en espacio libre la atenuación es función del cuadrado de la distancia, y al haber reflexiones en la tierra la dependencia se transformaba en la cuarta potencia; mediciones en diversos tipos de terrenos han determinado una cierta correspondencia empírica entre éstos y algunos exponentes. Es así que se modela una atenuación L(r) = r - β, donde β toma diferentes valores según el tipo de terreno:

espacio libre: β = 2

terreno plano: β = 4

terreno irregular: β = 3 ∼ 3 , 4

terreno forestal: β = 2 , 6

Cuando el entorno cambia luego de una cierta distancia rg, como por ejemplo el caso de una pequeña red en un lugar abierto en donde primero tenemos línea directa sin reflexiones y a medida que nos alejamos pasamos a tener reflexiones en el suelo, Harley propuso modificar el modelo para que presente una transición suave:

L(r) = r - β1 ⋅ (1 +

r

rg

) - β2

Modelo de Longley-Rice (ITM)

En los años '60, se desarrolla este modelo (por dichos ingenieros) también conocido como Irregular Terrain Model, destinado al planeamiento de la transmisión de televisión en VHF y UHF y la correspondiente asignación de frecuencias en los Estados Unidos.

El modelo consta de dos versiones, una para radiodifusión (broadcasting) y la otra para enlaces punto a punto. Basándose en algunos de los conceptos vistos, gran cantidad de mediciones e inferencias, y trabajando sobre una base de datos con las irregularidades del terreno, ITM es hoy un programa que podemos obtener de forma gratuita, agregarle la base de datos de nuestro sector del mundo, y usarlo a gusto.

Caminos múltiples (multipath fading, shadowing)

Hemos visto los efectos de una reflexión en la tierra al analizar la influencia de la altura de la antena. Imaginemos ahora lo que puede ocurrir si en vez de un simple rayito nos encontramos con toda una colección completa de ellos, cada uno con su propio trayecto y por ende demora asociada. Evidentemente vamos a tener un efecto similar, sólo que no es tan fácilmente calculable, es decir, no podemos conocer todos los detalles del entorno por el que se propaga la señal, e incluso esto puede cambiar (vegetación, por ejemplo). Debemos entonces modelar el efecto mediante alguna herramienta estadística que nos permita predecir la probabilidad de que la señal resultante no sea suficiente.

image: 15G__inProcess_equisbi_graph_intro_multipath-.png

Figura 1.2.7:

Caminos múltiples debido a reflexiones

En mediciones realizadas en campo, se ha observado que la potencia recibida en dB varía de acuerdo a una distribución normal, cuya media responde a la cuarta potencia de la distancia¹⁶

Esto se deriva del análisis de reflexiones en el suelo e irregularidades en el terreno

. De aquí se infiere que la potencia recibida sigue una distribución log-normal; por esta razón se lo suele denominar log-normal shadowing.¹⁷

Una posible explicación analítica puede verse en al apéndice

fp(p) =

1

√

2π

⋅ σp

⋅ e

- 1

2σ²

⋅ ln ²(

p

P

), donde

P

es la potencia media recibida.

La estimación de la probabilidad de que la señal supere el umbral mínimo requerido, se realiza integrando sobre la función densidad de distribución, cuyos parámetros se obtendrán de mediciones en el lugar.

Existe además un modelo empírico desarrollado por la ITU-R¹⁸

International Telecommunications Union, Radiocommunication Sector, es decir, el sector encargado de los temas de comunicaciones de radio en la Unión Internacional de Telecomunicaciones.

en la recomendación P.530, el cual permite utilizar fórmulas más sencillas para poder predecir los resultados.

Móviles: fast fading

Hemos visto en el apartado anterior la fluctuación de la intensidad de señal en presencia de caminos múltiples. Asumimos un sistema estacionario o al menos con fluctuaciones lo suficientemente lentas como para poder ser despreciadas. En el caso de un móvil, esto ocurre y se va modificando a medida que se recorre el trayecto; pero aparece además un corrimiento de frecuencia debido al efecto Doppler, y los trayectos hacia la antena cambian continuamente. Este escenario se denomina fast fading, y por oposición el modelo anterior resulta slow fading.

image: 16G__inProcess_equisbi_graph_intro_fading-.png

Figura 1.2.8:

Fading debido al movimiento y caminos múltiples

Sea la transmisión de una señal A ⋅ cos (2πft) en un ambiente con caminos múltiples y una antena en movimiento con velocidad v; dado que el corrimiento por efecto Doppler es Δ f =

v

λ

⋅ cos (α)(donde α es el ángulo de incidencia de la señal), y la señal resultante en la antena es una sumatoria de M señales idénticas i, atenuadas y corridas en frecuencia y en fase, tenemos:

S(t) = ∑

M

i = 1

Ai ⋅ cos [2π(f + Δ fi)t + ψi] = ∑

M

i = 1

Ai ⋅ cos [2πf(1 +

v

c

cos α)t + ψi]

Aquí ψi representa el corrimiento de fase resultante del efecto de las reflexiones, como analizáramos en apartados anteriores.

Se demuestra¹⁹

Existe una explicación en el apéndice

que la amplitud de una señal de este tipo sigue la distribución de Rayleigh²⁰

Distribución estadística nombrada en honor a Lord Rayleigh, quien descubriera el efecto por el cual podemos explicar por qué el cielo es azul, entre otras cosas.

, razón por la cual se suele denominar a este efecto como Rayleigh fading. Por consiguiente, podemos predecir que el móvil experimentará fluctuaciones en la amplitud de la señal recibida, y si realizamos un histograma de los valores recibidos durante un tiempo, veremos que responden a esta distribución.

La potencia instantánea recibida resulta entonces una variable aleatoria con distribución exponencial²¹

Más información en el apéndice

, y la estimación de la probabilidad de que supere al umbral mínimo requerido, se realiza integrando sobre la función densidad de distribución, cuyos parámetros se estimarán de mediciones en el lugar.

fp(p) =

1

P

⋅ e

- p

P

, donde

P

es la potencia media recibida.

Intencionalmente no consideramos la presencia de una componente principal (LOS) en el modelo anterior. En el caso que esta componente esté presente, tendremos:

S(t) = ∑

M

i = 0

Ai ⋅ cos [2πf(1 +

v

c

cos α)t + ψi], donde el sufijo 0 representa a la componente principal.

Se demuestra²²

Existe una explicación en el apéndice

que la señal resultante sigue la distribución de Rice²³

Stephen Rice, ingeniero de la Bell Labs que postuló esta distribución en análisis de ruido aleatorio.

, por lo que se conoce al efecto como Rician fading o Ricean fading.

La potencia instantánea recibida resulta entonces algo sumamente complejo que dejamos para los amantes de la matemática, en el apéndice. La estimación de la probabilidad de que supere al umbral mínimo requerido, se realiza integrando sobre la función densidad de distribución, cuyos parámetros se estimarán de mediciones en el lugar.

Existe además un modelo empírico, basado en la distribución de Nakagami²⁴

Distribución estadística basada en la función Gamma. En caso que el análisis anterior no haya resultado suficientemente escabroso, si se quiere considerar a la vez los efectos de shadowing y fast fading, debería utilizarse la distribución de Suzuki.

que es algo más sencillo de utilizar para los cálculos, dado que ésta puede aproximar a la función de Rice, y la de Rayleigh resulta un caso particular de la anterior. La potencia instantánea en este modelo sigue la distribución Gamma.

Con este comentario teórico no pretendemos instruir al lector ocasional en las artes del cálculo de enlaces para móviles, sino asustarlo lo suficiente como para que delegue el análisis en alguien idóneo; esperamos haber realizado dicha tarea de forma satisfactoria.

Modelo de Loo

En el modelo de Loo, se identifican tres elementos:

Atenuación por espacio libre

Atenuación por log-normal shadowing

Variaciones por Rayleigh-Rician fading

Ltotal[dB] = LLOS[dB] + Lsh[dB] - Lmp[dB]

1.2.5.6 Áreas urbanas

Existen numerosos modelos aplicables a espacios urbanos, cada uno con sus particularidades y frecuencias de aplicabilidad:

Young

desarrollado en base a datos de los años '50 para comunicaciones móviles en la ciudad de New York. Cubre las frecuencias de comunicaciones celulares

Okumura

desarrollado en base a datos de la ciudad de Tokyo, cubre las frecuencias de comunicaciones celulares

Hata

desarrollado en base al modelo de Okumura

Lee

para 900 MHz

COST 231

serie de modelos desarrollados para Europa, cubren las frecuencias de comunicaciones celulares

Dado que para hacer recomendaciones existe un organismo internacional, el modelo que podemos llamar oficial corresponde a la recomendación P.1411 de la ITU-R. Este modelo consta de varios sub-modelos a aplicar según el entorno, empleando los conceptos analizados y correcciones empíricas.

1.2.5.7 Espacios interiores

En espacios interiores, podemos aplicar los conceptos de multipath fading que hemos visto. Un efecto adicional que debemos considerar es el hecho de que en general no poseemos línea directa de visión y existen objetos de formas irregulares distribuidos en el área. El efecto que esto causa es que existan grupos de rebotes con caminos similares provenientes de cada objeto, es decir, cada señal multipath analizada para el caso de un móvil resulta ser un grupo de señales. En estas condiciones, en vez de la distribución de Rayleigh resulta más conveniente la de Weibull, razón por la cual se lo denomina Weibull fading.

Analíticamente el tema es bastante complejo, se sugiere al lector interesado sumergirse en la bibliografía [10] recomendada.

Recomendación P.1238 de la ITU-R

Esta recomendación presenta un modelo de atenuación para interiores, en la siguiente forma:

Ltotal = 20 ⋅ log (f) + N ⋅ log (r) + Lf(n) - 28,

donde f es la frecuencia de trabajo, N es un coeficiente que modifica el peso de la distancia r según el entorno y a las frecuencias que nos interesan se ubica entre 20 para áreas comerciales y 30 para áreas residenciales y oficinas. El término Lf(n) representa la atenuación debida al número n de pisos entre transmisor y receptor (que debe ser contabilizado como mínimo 1) y es del orden de 10 a 15dB